Trigonometri : Rangkuman Materi
dan Contoh Soal Trigonometri
A. Perbandingan Trigonometri
Jadi, untuk memudahkan menghafal rumus Perbandingan Trigonometri menjadi:
Sin a=DeMi
cos a=SaMi
tan a=DeSa
Contoh Soal Perbandingan trigonometri
Suatu segituga KLM yang siku-siku di L diketahui panjang KL = 14 cm dan
LM = 48 cm. Tentukan panjang KM dan carilah nilai sin a, cos a tan a.
Jawab :
Gambar 1
KM = √(〖KL〗^2+〖LM〗^2 )
=√(〖14〗^2+〖48〗^2 )=√(196+2304)
=√2500=50 cm
Maka panjang KM = 50 cm
Sin a=y/r =Depan/Miring Sin a=14/50 =7/25
cos a=x/r=Samping/Miring cos a=48/50=24/25
Tan a=y/x=Depan/Samping Tan a=14/48=7/24
B. Tanda Tanda Perbandingan Trionometri
Untuk memudahkan dalam mengingat tanda (+/ - ) pada masing masing kudran maka bisa dibuat seperti gambar di samping.
Gambar 2
Gambar tersebut maksudnya pada kuadran I semua fungsi trigonometri
bernilai positif (+), pada kuadran II yang bernilai positif (+) hanya
fungsi Sin yang lain bernilai negatif (-), pada kuadran III yang
bernilai positif (+) hanya fungsi Tan yang lain bernilai negatif (-),
pada kuadran IV yang bernilai positif (+) hanya fungsi Cos yang lain
bernilai negatif (-). Bisa disingkat dengan KoTaSiALL
Fungsi Trigonometri Sudut-Sudut Istimewa dan Trigonometri dari sudut yang Berelasi
Dalam fungsi trigonometri terdapat sudut-sudut istimewa yakni
0°,30°,45°,60°,90° yang memiliki nilai perbandingan trigonometri
sebagai berikut.
∝ 0° 30° 45° 60° 90°
Sin 0 1/2 1/2 √2 1/2 √3 1
Cos 1 1/2 √3 1/2 √2 1/2 0
Tan 0 1/3 √3 1 √3 ∞
Trigonometri dari sudut yang Berelasi
Sedangkan untuk menghitung sudut yang berada diluar kuadran I, bisa
dicari dengan menggunakan rumus sudut berelasi. Rumus sudut berelasi
memudahkan dalam mencari nilai perbandingan trigonometri suatu sudut
yang berada di kuadran II, III dan IV atau sudut negatif(-).
Berikut rumus sudut yang berelasi pada Trigonometri
Untuk Sudut (90-a)
Sin (90-a) = Cos a
Cos (90-a) = Sin a
Tan (90-a) = Cot a
Untuk Sudut (180-a)
Sin (180-a) = Sin a
Cos (180-a) =- Cos a
Tan (180-a) = - tan a
Untuk sudut (180+a)
Sin (180+a) = -sin a
Cos (180+a) = - cos a
Tan (180+a) = tan a
Untuk sudut (-a) dan sudut (360-a)
Sin (360-a) = -sin a Sin (-a)= -sin a
Cos (360-a) = Cos a Cos (-a) =cos a
Tan (360-a) = - tan a Tan (-a)= -tan a
Contoh Soal :
1. Diketahui segitiga DEF dengan sudut E= 45° dan FU adalah garis tinggi segitiga itu dari sudut F.
Jika panjang EF = a, dan DU = 5/2 a√2 cm, maka hitunglah tinggi DF.
Jawab :
Lihat segitiga EFU.
Sin 45°= FU/EF
↔FU=EF.sin〖45°〗=a/2 √a
Lihat segitiga DFU
DF=√(〖FU〗^2+〖UD〗^2 )
=√(〖(a/2 √a)〗^2+〖(5/2 a√2)〗^2 )
=√(〖25/2 a〗^2+a^2/2)
=√(13a^2 )=a√13
2. Nilai sin 750°, adalah ...
Jawab :
Karena didalam soal, sudutnya lebih dari 360°, maka sudut itu dikurangi dengan 360°,, maka :
Sin 750°= Sin (750-2.360)
=sing 30= ½
3. Jika k di kuadran II dan tg k =x, maka sin k =...
buatlah segitiga :
AC = √(1^2+a^2 )=√(a^2+1^2 )
Maka sin k = BC/AC=a/√(a^2+1^2 )
C. Identitas Trigonometri
Sin^2 A+Cos^2 A=1
Sin 2A = 2 Sin A cos A
Cos 2A = =1-2 Sin^2A=2 cos^2A-1
D. Rumus jumlah dan selisih sudut
Sin (a+b) = Sin a cos b + cos a sin b
Sin (a-b) = Sin a cos b - cos a sin b
Cos (a+b) = Cos a cos b - Sin a sin b
Cos (a-b) = Cos a cos b + Sin a sin b
Tan (a+b) = (tana+tanb)/(1-tana tanb )
Tan (a-b) = (tana-tanb)/(1+tana tanb )
Contoh :
1. Jika sin a = 6/10 dan cos b = 12/13, jika a dan b adalah sudut lancip. maka hitunglah
a. Sin (a+b)
b. cos (a+b)
c. tan (a+b)
Jawab :
Jika sin a = 6/10, maka
cos a = 8/10
tan a = 6/8
Jika cos b = 12/13, maka :
sin b = 5/13
tan b = 5/12
a. Sin (a+b) = Sin a cos b + cos a sin b
= (6/10).(12/13) +(8/10).(5/13)
= (72/130)+(40/130)
=112/130
b. Cos (a+b) = Cos a cos b - Sin a sin b
=(8/10).(12/13)-(6/10).(5/13)
=(96/130) - (30/130)
=66/130
c. Tan (a+b) = (tana+tanb)/(1-tana tanb )
=(6/8+5/12)/(1-6/8.5/12 )=40/32
2. Tentukan nilai cos 75, carilah tanpa menggunakan kalkulator.
Jawab :
Cos 75 = cos (45+30)
Cos (45+30) = Cos 45 cos 30 - Sin 45 sin 30
=(1/2 √2).(1/2 √3)-(1/2 √2).(1/2)
=1/2 √2 (1/2 √3-1/2)
=1/4 √2(√3-1)
3. Diketahui sin a = 3/5 dan tan b = 8/15, jika a dan b adalah sudut lancip, maka hitunglah :
a. sin (a-b)=
b. cos (a-b)
c. tan (a-b)
Jawab :
Jika diketahui :
sin a =3/5, cos a =4/5 tan = 3/4
tan b = 8/15 sin b = 8/17 cos b = 15/17
a. sin (a-b) = Sin a cos b - cos a sin b
= (3/5).(15/17)-(4/5).(8/17)
=(45/85)-(32/85)=13/85
b. cos (a-b) = Cos a cos b + Sin a sin b
= (4/5).(15/17)+(3/5).(8/17)
=(60/85)+(24/85)=84/85
c. tan (a-b) = (tana-tanb)/(1+tana tanb )
=(3/4-8/15)/(1+3/4.8/15)=13/36
4. Hitunglah nilai cos 24 +sin 24 tan 12
Jawab :
cos 24 +sin 24 . tan 12 = cos 24 +sin 24 . (sin 12)/cos12
=(cos24.cos12+sin〖24.sin12 〗)/cos12
=cos(24-12)/cos12
=cos12/cos12 =1
E. Rumus sudut rangkap dan Setengah
Sin 2A = 2 Sin A cos A
Cos 2A = cos^2A-Sin^2A=1-2 Sin^2A=2 cos^2A-1
tan 2A = (2 tanA)/(1-tan^2A )
Sin 3A = 3 Sin A – 4 Sin^3A
Cos 3A = 4 Cos^3A – 3 Sin A
tang 3A = (3 tanA-Tan^3A)/(1- Tan^3A )
Sin 1/2 A=±√((1-cosA)/2)
Cos 1/2 A=±√((1+cosA)/2)
tan〖1/2 A〗=±√((1-cosA)/(1+cosA ))=(Sin A)/(1+cosA )=(1-cosA)/sinA
Contoh :
1. Jika diketahui tan A = ¾ dan A adalah sudut lancip, carilah nilai:
a. sin 2A
b. cos 3A
c. tan ½ A
Jawab :
Diketahui A adalah sudut lancip dan tan A = ¾ , maka sin A = 3/5 dan cos A = 4/5.
a. Sin 2A = 2 Sin A. cos A
= 2 (3/5) . (4/5)
= 24/25
b. cos 3A= 4 cos^3A-3 cosA
=4(4/5)^3-3(4/5)=196/25
c. tan ½ A =(1-cosA)/sinA =(1-(4/5))/(3/5)=1/3
F. Rumus hasil kali sinus dan kosinus
2 sin A cos B = Sin (A+B) + Sin (A-B)
2 Cos A Sin B = Sin (A+B) - Sin (A-B)
2 Cos A cos B = Cos (A+B) + Cos (A-B)
2 sin A Sin B = - Cos (A+B) + Cos (A-B)
Contoh :
1. Hitunglah nilai dari :
a. 2 sin 8a cos 2a
b. cos 3a cos 2a
c. 2 sin 105 cos 15
d. cos 60 sin 30
Jawab :
a. 2 sin 8a cos 2a = Sin (8a+2a) + Sin (8a-2a)
=sin 10a +sin 6a
b. cos 3a cos 2a = Cos (3a+2a) + Cos (3a-2a)
= cos 5a + cos a
c. 2 sin 105 cos 15 = Sin (105+15) + Sin (105-15)
= sin 120 + sin 90
=1/2 3 + 1
d. cos 60 sin 30 = Sin (60+30) - Sin (60-30)
= sin 90 – sin 30
= 1- ½ = ½
G. Rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus
Sin A + Sin B = 2 Sin ½ (A+B) cos ½ (A-B)
Sin A - Sin B = 2 Cos ½ (A+B) Sin ½ (A-B)
Cos A + Cos B = 2 Cos ½ (A+B) cos ½ (A-B)
Cos A - Cos B = - 2 Sin ½ (A+B) cos ½ (A-B)
Contoh :
1. Sin 90 – sin 30
2. sin 180 + sin 120
3. cos 90 + cos 30
4. Cos 75 – cos 15
Jawab:
1. Sin 90 – sin 30 = 2 Cos ½ (90+30) Sin ½ (90-30)
= 2 cos ½ (120) Sin ½ (60)
= 2 cos 60 sin 30
= 2 (1/2).1/2=1/2
2. sin 180 + sin 120 =2 Sin ½ (180+120) cos ½ (180-120)
= 2 sin ½ (300) cos ½ (60)
= 2 sin 150 cos 30
= 2 (½). 1/2 √3=1/2 √3
3. cos 90 + cos 30= 2 Cos ½ (90+30) cos ½ (90-30)
= 2 cos ½ 120 cos ½ 60
= 2 cos 60 . cos 30
= 2 (½). 1/2 √3=1/2 √3
4. Cos 75 – cos 15 = - 2 Sin ½ (75+15) cos ½ (75-15)
= - 2 sin ½ 90 cos ½ 60
= -2 sin 45 cos 30
=-2 (1/2 √2).(1/2 √3)=1/2 √6
0 komentar:
Posting Komentar