Fungsi, Fungsi Komposisi, dan Fungsi Invers

Relasi dan Fungsi

Pengertian Fungsi: Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi atau pemetaan jika dan hanya jika setiap anggota himpunan A berpasangan dengan tepat satu anggota himpunan B.
Suatu fungsi atau pemetaan dapat disajikan dalam bentuk himpunan pasangan terurut, rumus, diagram panah, atau diagram cartesius. Fungsi f yang memetakan himpunan A ke himpunan B ditulis dengan notasi:
f:A \rightarrow B
Dengan:
  • A disebut domain (daerah asal) dinotasikan D_f
  • B disebut Kodomain (daerah kawan) dinotasikan K_f
  • {y \epsilon B \mid(x,y) \epsilon R, x \epsilon A} disebut range (daerah hasil), dinotasikan dengan R_f
Sebagai contoh:
Contoh 1 Contoh 2 Contoh 3
 relasi dan fungsi  bukan fungsi  pengertian fungsi
Bukan fungsi karena terdapat anggota di A yang tidak dihubungkan dengan anggota di B Bukan fungsi karena terdapat anggota di A yang dihubungkan lebih dari satu dengan anggota di B Meupakan fungsi karena setiap anggota di A tapat dihubungkan dengan satu anggota di B

Sifat-sifat Fungsi

  • Fungsi surjektif
Pada fungsi f:A \rightarrow B, jika setiap elemen di B mempunyai pasangan di A atau R_f = B, atau setiap y \epsilon B terdapat x \epsilon A sedemikian sehingga f(x) = y. Contoh:
surjektif
  • Fungsi Into
Pada fungsi f:A \rightarrow B, jika terdapat elemen di B yang tidak mempunyai pasangan di A.
Contoh:
into
  • Fungsi Injektif
Pada fungsi f:A \rightarrow B, jika setiap elemen di B mempunyai pasangan tepat satu elemen dari A.
Contoh:
injektif
  • Fungsi Bijektif
Jika fungsi f:A \rightarrow B merupakan fungsi surjektif sekaligus fungsi injektif.
Contoh:
bijektif

Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi merupakan susunan dari beberapa fungsi yang terhubung dan bekerja sama.
Sebagai ilustrasi jika fungsi f dan g adalah mesin yang bekerja beriringan. Fungsi f menerima input berupa (x) yang akan diolah di mesin f dan menghasilkan output berupa f(x). Kemudian f(x) dijadikan input untuk diproses di mesin g sehingga didapat output berupa g(f(x)).
 
Ilustrasi tersebut jika dibuat dalam fungsi merupakan komposisi g dan f yang dinyatakan dengan g o f sehingga:
(g o f)(x) = g(f(x))
dengan syarat: R_f \cap D_g \not= {\O}.
fungsi komposisi
Komposisi bisa lebih dari dua fungsi jika f:A \rightarrow B, g:B \rightarrow C, dan h:C \rightarrow D, maka h o g o f:A \rightarrow D dan dinyatakan dengan:
(h o g o f)(x) = h(g(f(x)))

Sifat-sifat fungsi komposisi:

Operasi pada fungsi komposisi tidak besifat komutatif (g o f)(x) \not= (f o g)(x)
Operasi bersifat asosiatif: (h o g o f)(x) = (h o(g o f))(x) = ((h o g) o f)(x)
Contoh:
Jika f(x) = 2x + 3 dan (f o g)(x) = 2x^2 + 6x - 7, maka g(x) adalah
(f)(g(x)) = 2x^2 + 6x - 7
2(g(x)) + 3 = 2x^2 + 6x - 7
g(x) = x^2 + 3x - 5

Fungsi Invers

Jika fungsi f:A \rightarrow B memiliki relasi dengan fungsi g:B \rightarrow A, maka fungsi g merupakan invers dari f dan ditulis f^{-1} atau g = f^{-1}. Jika f^{-1} dalam bentuk fungsi, maka f^{-1} disebut fungsi invers.
fungsi invers

Menentukan Invers

Menentukan invers suatu fungsi y = f(x) dapat ditempuh dengan cara berikut:
Ubah persamaan y = f(x) ke dalam bentuk x = f(y)
Gantikan x dengan f^{-1}(y) sehingga f(y) = f^{-1}(y)
Gantikan y dengan x sehingga diperoleh invers berupa f^{-1}
Contoh:
Menentukan invers dari =x^2 - 2x + 4:
y = [x^2 - 2x + 4
y = (x - 1)^2 + 3
(x - 1)^2 = y - 3
x - 1 = \pm \sqrt{y - 3}
x = \pm \sqrt{y -3 + 3}
Sehingga inversnya adalah
f^{-1}(x) =\pm \sqrt{y - 3 + 1} dan bukan merupakan fungsi karena memiliki dua nilai.

Rumus Fungsi Invers

Rumus Fungsi Invers
JENIS FUNGSI  f(x)  f^{-1}(x)
Fungsi linier  f(x) = ax + b  f^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}
Fungsi pecahan linier  f(x) =\frac{ax+b}{cx+d}  f^{-1}(x) = \frac{-dx+b}{cx-a}
Fungsi Irrasional  f(x) =\sqrt[n]{ax+b}  f^{-1}(x) = \frac{x^n-b }{a}
Fungsi eksponen  f(x) = a^x  f^{-1}(x) = ^a\log x
Fungsi logaritma  f(x) = ^a\log x  f^{-1}(x) = a^x
Contoh
JENIS FUNGSI  f(x)  f^{-1}(x)
Fungsi linier  f(x) = 2x+3  f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}
Fungsi pecahan linier  f(x) = \frac{2x+3}{4x+5}  f^{-1}(x) = \frac{-5x+3}{4x-2}
Fungsi Irrasional  f(x) = \sqrt[4]{2x+3}  f^{-1}(x) = \frac{x^4-3}{2}
Fungsi eksponen  f(x) = 2^x  f^{-1}(x) = ^2\log x
Fungsi logaritma  f(x) = ^2\log x  f^{-1} = 2^x

Invers dari Fungsi Komposisi

invers dari fungsi komposisi
Berdasar gambar, jika f, g, h adalah fungsi dengan contoh f(x) = 2x + 3, g(x) = 3x - 5, dan  h(x) = x =1.
Jika f^{-1},g^{-1},h^{-1} adalah invers fungsinya yaitu f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}, g^{-1}(x) = \frac{x+3}{3}, dan h^{-1}(x) = x - 1, maka dirumuskan beserta contohnya:
  • (g \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ g^{-1})(x)
(g \circ f)^{-1}(x) =f^{-1}(g^{-1}(x))
(g \circ f)^{-1}(x) = \frac{(g^{-1}(x))-3}{2} = \frac{\frac{x+5}{3}-3}{2} = \frac{\frac{x-4}{3}}{2} = \frac{2x-8}{3}
  • (f \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x)
(f \circ g)^{-1}(x) = g^{-1}(f^{-1}(x))
(f \circ g)^{-1}(x) = \frac{\frac{x-3}{2}+5}{3} = \frac{\frac{x+7}{2}}{3} = \frac{3x+21}{2}
  • (h \circ g \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ g^{-1} \circ h^{-1})(x)
(h \circ g \circ f)^{-1}(x) = f^{-1}(g^{-1}(h^{-1}(x)))
(h \circ g \circ f)^{-1}(x) = f^{-1} (\frac{(x-1)+5}{3}) = f^{-1} (\frac{x+4}{3})
(h \circ g \circ f)^{-1}(x) = \frac{(\frac{x+4}{3})-3}{2} = \frac{(\frac{x-5}{3})}{2} = \frac{2x-10}{3}
  • (f \circ g \circ h)^{-1}(x) = (h^{-1} \circ g^{-1} \circ f^{-1})(x)
(f \circ g \circ h)^{-1}(x) = h^{-1} (g^{-1}(f^{-1}(x)))
(f \circ g \circ h)^{-1}(x) = h^{-1}(\frac{3x+21}{2})
(f \circ g \circ h)^{-1}(x) = (\frac{3x+21}{2}) - 1 = \frac{3x+19}{2}
Berdasarkan rumusan tersebut, dapat diturunkan operasi komposisi fungsi sebagai berikut:
  • Jika diketahui g(x) dan (f \circ g)(x) atau (g \circ f)(x), maka (f \circ g \circ g^{-1})(x) = (g^{-1} \circ g \circ f)(x) = f(x)
  • Jika diketahui f(x) dan (f \circ g)(x) atau (g \circ f)(x), maka (f^{-1} \circ f \circ g)(x) = (g \circ f \circ f^{-1})(x) = g(x)
  • Jika diketahui f(x),g(x), dan (f \circ g \circ h)(x), maka (f \circ g)^{-1}((f \circ g \circ h)(x))
  • Jika diketahui f(x), h(x), dan (f \circ g \circ h)(x), maka f^{-1}((f \circ g \circ h)(h^{-1}(x)))

Contoh Soal Fungsi Komposisi Fungsi Invers dan Pembahasan

Contoh Soal Fungsi Komposisi

Jika f(x) = \frac{x}{x-1}, x \not= 1 dan g(x) = f(x^2 +1), tentukanlah nilai g(f(x))
Pembahasan
g(x) = f(x^2+1)
g(x) = \frac{(x^2+1)}{(x^2+1)-1} = \frac{x^2+1}{x^2}
g(x) = 1+ \frac{1}{x^2}
Maka:
g(f(x)) = 1 + \frac{1}{(f(x))^2}
g(f(x)) = 1 + \frac{1}{(\frac{x}{x-1})^2} = 1 + (\frac{x-1}{x})^2 = 1 + \frac{x^2-2x+1}{x^2}
g(f(x)) = 2 - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}

Contoh Soal Fungsi Invers

Diketahui f^{-1}(x) = \frac{1}{2}(x - 3), tentukan f(x).
Pembahasan
f^{-1}(x) = \frac{1}{2}(x -3)
f^{-1}(y) = \frac{1}{2}(y -3)
x = \frac{1}{2}(y - 3)
2x = (y - 3)
y = 2x + 3
Maka,
f(x) = 2x + 3

Contoh Soal Fungsi Komposisi Fungsi Invers

Misalkan f(x) = x + 2 untuk x > 0 dan  g(x) = \frac{15}{x} untuk  x > 0. Jika (f^{-1} \circ g^{-1})(x) = 1, tentukan nilai (x)(x).
Pembahasan
f(x) = x + 2 \rightarrow f^{-1}(x) = x - 2
g(x) = \frac{15}{x} \rightarrow g^{-1}(x) = \frac{15}{x}
Maka,
(f^{-1} \circ g^{-1})(x) = 1
f^{-1}(g^{-1}(x)) = 1
f^{-1}(\frac{15}{x}) = 1
(\frac{15}{x}) - 2 = 1
x = 5