Logaritma

Pengertian Logaritma

Logaritma adalah kebalikan dari suatu perpangkatan. Jika sebuah perpangkatan ac = b, maka dapat dinyatakan dalam logaritma sebagai:
alog b = c
dengan syarat a > 0 dan a \ne 1
sifat logaritma

Pada penulisan logaritma alog b = c, a disebut bilangan pokok dan b disebut bilangan numerus atau bilangan yang dicari nilai logaritmanya (b > 0) dan c merupakan hasil logaritma. Jika nilai a sama dengan 10, biasanya 10 tidak dituliskan sehingga menjadi log b = c. Jika nilai bilangan pokoknya merupakan bilangan e (bilangan eurel) dengan e = 2,718281828 maka logaritmanya ditulis dengan logaritma natural dan penulisannya dapat disingkat menjadi ln, misalnya elog b = c menjadi:
ln b = c
Berikut ini sejumlah contoh logaritma:
Perpangkatan Contoh Logaritma
 21 = 2 2log 2 = 1
 20 = 1 2log 1 = 0
 23 = 8 2log 8 = 3
2-3 = 8 2log  = – 3
 9^{\frac{3}{4}} = 3 \sqrt{3} 9log 3 \sqrt{3} = \frac{3}{4}
 103 = 1000 log 1000 = 3

Sifat-sifat Logaritma

1. Sifat Logaritma dari perkalian

Suatu logaritma merupakan hasil penjumlahan dari dua logaritma lain yang nilai kedua numerus-nya merupakan faktor dari nilai numerus awal. Berikut modelnya:
alog p.q = alog p + alog q
dengan syarat a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0.

2. Perkalian Logaritma

Suatu logaritma a dapat dikalikan dengan logaritma b jika nilai numerus logaritma a sama dengan nilai bilangan pokok logaritma b. Hasil perkalian tersebut merupakan logaritma baru dengan nilai bilangan pokok sama dengan logaritma a, dan nilai numerus sama dengan logaritma b. Berikut model sifat logaritma nya:
alog b x blog c = alog c
dengan syarat a > 0, a \ne 1.

3. Sifat Logaritma dari pembagian

Suatu logaritma merupakan hasil pengurangan dari dua logaritma lain yang nilai kedua numerus-nya merupakan pecahan atau pembagian dari nilai numerus logaritma awal. Berikut modelnya:
alog \frac{p}{q} = alog p – alog q
dengan syarat a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0.

4. Sifat Logaritma berbanding terbalik

Suatu logaritma berbanding terbalik dengan logaritma lain yang memiliki nilai bilangan pokok dan numerus-nya saling bertukaran. Berikut modelnya:
alog b = \frac{1}{^b log a}
dengan syarat a > 0, a \ne 1.

5. Logaritma berlawanan tanda

Suatu logaritma berlawanan tanda dengan logaritma yang memiliki numerus-nya merupakan pecahan terbalik dari nilai numerus logaritma awal. Berikut modelnya:
alog \frac{p}{q} = – alog \frac{q}{p}
dengan syarat a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0.

6. Sifat Logaritma dari perpangkatan

Suatu logaritma dengan nilai numerus-nya merupakan suatu eksponen (pangkat) dapat dijadikan logaritma baru dengan mengeluarkan pangkatnya menjadi bilangan pengali. Berikut modelnya :
alog bp = p. alog b
dengan syarat a > 0, a \ne 1, b > 0

7. Perpangkatan Bilangan Pokok Logaritma

Suatu logaritma dengan nilai bilangan pokoknya merupakan suatu eksponen (pangkat) dapat dijadikan logaritma baru dengan mengeluarkan pangkatnya menjadi bilangan pembagi. Berikut modelnya:
^{a^p} log b = \frac{1}{p} ^a log b
dengan syarat a > 0, a \ne 1.

8. Bilangan pokok logaritma sebanding dengan perpangkatan numerus

Suatu logaritma dengan nilai numerus-nya merupakan suatu eksponen (pangkat) dari nilai bilangan pokoknya memiliki hasil yang sama dengan nilai pangkat numerus tersebut. Berikut model sifat logaritma nya:
alog ap = p
dengan syarat a > 0 dan a \ne 1.

9. Perpangkatan logaritma

Suatu bilangan yang memiliki pangkat berbentuk logaritma, hasil pangkatnya adalah nilai numerus dari logaritma tersebut. Berikut modelnya:
a^{^a log m} = m
dengan syarat a > 0, a \ne 1, m > 0.

10. Mengubah basis logaritma

Suatu logaritma dapat dipecah menjadi perbandingan dua logaritma sebagai berikut:
^p log q = \frac{^a log p}{^a log q}
dengan syarat a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0

Contoh Soal Logaritma dan Pembahasan

Contoh Soal Logaritma 1

Diketahui 3log 5 = x dan 3log 7 = y. maka, nilai dari 3log 245 1/2 adalah … ?            (EBTANAS ’98)
Pembahasan 1
3log 245 ½ = 3log (5 x 49) ½
3log 245 ½ = 3log ((5) ½ x (49) ½)
3log 245 ½ = 3log (5) ½ + 3log (72) ½
3log 245 ½ = \frac{1}{2} ( 3log 5 + 3log 7)
3log 245 ½ = \frac{1}{2} (x + y)
Jadi, nilai dari 3log 245 1/2 adalah \frac{1}{2} (x + y).

Contoh Soal Logaritma 2

Jika b = a4, nilai a dan b positif, maka nilai alog b – blog a adalah …?              (UMPTN ’97)
Pembahasan 2
Diketahui bahwa b = a4, maka dapat disubstitusi kedalam perhitungan:
alog b – blog a = alog a4  – ^{a^4} log a
alog b – blog a = 4 (alog a) – \frac{1}{4}( alog a)
alog b – blog a = 4 – \frac{1}{4}
alog b – blog a = 3 \frac{3}{4}
Jadi, nilai dari alog b – blog a pada soal tersebut adalah 3 \frac{3}{4}.

Contoh Soal Logaritma 3

Jika alog (1- 3log \frac{1}{27}) = 2, maka tentukanlah nilai a.   (UMPTN ’97)
Pembahsan 3
Jika kita buat nilai 2 menjadi sebuah logaritma dengan bilangan pokok logaritmanya adalah a menjadi alog a2= 2, maka didapat :
alog (1- 3log \frac{1}{27}) = 2
alog (1- 3log \frac{1}{27}) = alog a2
Nilai numerus kedua logaritma tersebut bisa menjadi sebuah persamaan:
1- 3log \frac{1}{27} = a2
3log 3 – 3log \frac{1}{27} = a2
3log 3 – 3log 3(-3) = a2
3log \frac{3}{3^{(-3)}} = a2
3log 34 = a2
4 = a2
Sehingga diperoleh nilai a = 2