Aturan Sinus dan Cosinus
1. Aturan Sinus
Untuk memahami asal dari aturan sinus dalam segitiga, perhatikan △ ACD dan △BCD pada gambar di bawah ini :
 |
| Aturan Sinus |
Sehingga untuk setiap segitiga sembarang berlaku Aturan Sinus sebagai berikut :₂
 |
| Aturan Sinus 2 |
2. Aturan Cosinus
Perhatikan gambar berikut!
 |
| Aturan Cosinus |
b² = CD² + AD² ..... (1)
Pada △BCD
Sin B = CD ⇔ CD = a. Sin B... (2)
a
Cos B = BD ⇔ BD = a. Cos B... (3)
a
AD = AB - BD = c - a. Cos B.... (4)
Jika kita substitusi ke persamaan (1) maka didapatkan
b² = (a. Sin B)² + (c - a. Cos B)²
b² = a². Sin² B + c² - 2.a.c. Cos b + a² Cos² B
b² = a² (Sin² B + Cos² b) + c² - 2.a.c.Cos B
b² = a² + c² - 2.a.c.Cos B
Maka didapatkan Aturan Cosinus sebagai berikut:
 |
| Aturan Cosinus 2 |
Dari aturan cosinus tersebut kita menggunakan cara aljabar, maka akan didapat rumus untuk menentukan nilai dari cosinus salah satu sudut dalam segitiga.
a² = b² + c² - 2.b.c.Cos A
2.b.c.Cos A = b² + c² - a²
Cos A = b² + c² - a²
2.b.c
⇔ Cos B = a² + c² - b²
2.a.c
⇔ Cos C = a² + b² - c²
2.a.b
3. Luas Segitiga
 |
| Rumus Luas Segitiga |
Perhatikan △ABC disamping !
Sin A = CD
b
⇔ CD = b. sin A
Seperti yang kita ketahui dalam pelajaran matematika di Sekolah Dasar, rumus luas segitiga adalah:
½ x alas x tinggi
Dalam △ABC disamping
⇨ ½ x AB x CD
⇨ ½ x c x b.Sin A
Maka luas △ABC bisa didapat dengan rumus :
Luas △ = ½ b.c.Sin A
Luas △ = ½ a.c.Sin B
Luas △ = ½ a.b..Sin C
MARI BERLATIH DENGAN SOAL
1. Pada △ABC diketahui bahwa <A = 30°, BC = 6cm dan AC = 10cm. Maka tentukanlah nilai dari Sin B!
Pembahasan:
BC = a dan AC = b
a = b
Sin A Sin B
6 = 10
Sin30° Sin B
⇔ Sin B = 10 x Sin30° ⇔ Sin B = 10 x ½ ⇔ Sin B = 5
6 6 6
2. Pada △PQR diketahu besar <P = 60°, <R = 45° dan panjang QR adalah 8√3 cm. Tentukanlah panjang sisi PQ!
Pembahasan :
QR = p dan PQ = r
menurut aturan sinus p = r ⇔ 8√3 = r
Sin P Sin R Sin 60° Sin 45°
⇔ r = 8√3 x Sin 45° ⇔ r = 8√3 ½√2 ⇔ r = 8√2 cm
Sin 60° ½√3
3. Perhatikan △ABC disamping !
Berapakah panjang sisi AC?
 |
| Berapa panjang sisi AC ? |
Pembahasan :
AB = c dan AC = b
besar <C = 180° - (75°+ 60°) = 45°
b = c
Sin B Sin C
b = 20
Sin 60° Sin 45°
b = 20 x Sin 60° = 20 x ½√3
Sin 45° ½√2
b = 20√3 x √2 = 10√6cm
√2 √2
4. Jika diketahui suatu △ABC memiliki panjang sisi c = 12√2cm, besar <A = 105° dan <C = 45° maka berapakah panjang sisi b?
Pembahasan :
Besar <B = 180° - (105° + 45°) = 30°
b = c
Sin B Sin C
b = 12√2
Sin 60° Sin 45°
b = 12√2 x Sin 60° = 12√2 x ½√3 = 12√3 cm
Sin 45° ½√2
5. Ditentukan △PQR dengan panjang sisi QR = 4cm, PR = 10cm dan Sin Q = ½. Berapakah nilai Cos P?
Pembahasan :
QR = p dan PR = q
p = q ⇔ 4 = 10
Sin P Sin Q Sin P ½
⇔ Sin P = 4 x ½ = 1
10 5
⇔ Cos² P = 1 - Sin² P ⇔ Cos² P = 1 - (⅕)²
⇔ Cos² P = 24/25 ⇔ Cos P = ⅖√6 cm
6. Sebuah △ABC memiliki panjang AB = 4 cm, BC = 6 cm dan AC = 8 cm. Nilai cos <ACB adalah...
Pembahasan :
Cos <ACB = BC² + AC² - AB²
2 x BC x AC
Cos <ACB = 6² + 8² - 4² = 36 + 64 - 16 = 84 = 7
2 x 6 x 8 96 96 8
7. Tentukan nilai X pada gambar segitiga dibawah!
 |
| Nilai x? |
Pembahasan :
X² = 3² + 8² - 2.3.8.Cos 60°
X² = 9 + 64 - 2.24.½
X² = 73 -24 = 49
X = √49 = 7cm
8. Ditentukan △KLM dengan KL = 9cm, KM = 8cm dan LM = 7cm. Nilai Sin K adalah...
Pembahasan :
Cos K = KL² + KM² - LM²
2 x KL x KM
Cos K = 9² + 8² - 7² = 81 + 64 - 49 = 96 = 2
2 x 9 x 8 144 144 3
⇔ Sin² K = 1 - Cos² K
⇔ Sin² K = 1 - (2/3)²
⇔ Sin² K = 1 - 4-/9 = 5/9
⇔ Sin K = √5/9 = ⅓√5
9. Sebuah segitiga sama kaki ABC dengan panjang AB = AC = 8cm dan besar <ABC = 30°. Berapakah panjang sisi BC?
Pembahasan :
 |
| panjang sisi BC? |
BC² = AB² + AC² - 2xABxACx Cos A
BC² = 8² + 8² - 2 x 8 x 8 x (-½)
BC² = 64 + 64 + 64 = 192
BC = √192 = 8√3 cm
10. Pada △ABC diketahui a = 2√7cm, b = 4cm dan c = 6cm. Maka nilai Sin A adalah...
Pembahasan :
Cos A = b² + c² - a²
2xbxc
Cos A = 4² + 6² - (2√7)² = 16 + 36 - 28 = 24 = 1
2x4x6 48 48 2
maka didapat besar <A = 60°
Sin 60° = ½√3
11. Pada △ABC diketahui <ABC = 60°, panjang sisi AB = 12cm dan panjang sisi BC = 15cm. Luas segitiga itu adalah...
Pembahasan :
Luas △ABC = ½ x AB x BC x Sin <ABC
= ½ x 12 x 15 x ½√3
= 45√3 cm²
12. Berapakah luas sebuah segitiga sama sisi yang memiliki panjang sisi 12cm?
Pembahasan :
Segitiga sama sisi memiliki besar sudut yang sama yaitu 60° dan semua
sisi memiliki panjang yang sama sehingga luasnya didapat seperti ini
Luas △ = ½ x s x s x Sin α
= ½ x 12 x 12 x ½√3
= 36√3 cm²
13. Berapakah luas segiempat ABCD pada gambar dibawah?
 |
| Luas segi empat ABCD ? |
Pembahasan :
Luas △ABD = ½ x 3 x 8 x Sin 60° = 12 x ½√3 = 6√3 cm²
Untuk menghitung luas △CBD, terlebih dahulu hitung panjang sisi BD menggunakan aturan cosinus
BD² = 3² + 8² - 2 x3 x 8 x Cos 60°
BD² = 9 + 64 - 24 = 49
BD = √49 = 7 cm
Perhatikan bahwa △CBD memiliki panjang sisi 7cm, 24 cm dan 25cm yang
merupakan tripel pitagoras. Maka dapat disimpulkan bahwa △CBD adalah
segitiga siku-siku sehingga luasnya adalah
Luas △CBD = ½ x 7 x 24 = 84 cm²
Maka luas segiempat ABCD = Luas △ABD + Luas △CBD
= 6√3 cm² + 84 cm²
= (6√3 + 84) cm²
14. Jika △ABC memiliki besar <A = 65°, <B = 55°, panjang sisi
AC = 6cm dan panjang sisi BC = 8cm, maka luas segitiga tersebut adalah
Pembahasan :
 |
| Luas segitiga? |
Luas △ABC = ½ x AC x BC x Sin 60°
= ½ x 6 x 8 x ½√3
= 12√3 cm²
15. Tentukan luas segilima beraturan yang panjang jari-jarinya adalah 8 cm.
Pembahasan :
Perhatikan gambar dibawah ini !
 |
| Luas segi g? |
Segilima beraturan terdiri dari 5 buah segitiga yang kongruen, maka luas
segilima tersebut adalah 5 kali luas segitiga AOB dimana besar <AOB =
360° = 72°
5
Luas segi-5 = 5 x Luas △AOB
= 5 x ½ x 8 x 8 x Sin 72°
= 160 x 0,951
= 152,16 cm²
0 komentar:
Posting Komentar