Aturan Sinus dan Cosinus

1. Aturan Sinus
Untuk memahami asal dari aturan sinus dalam segitiga, perhatikan △ ACD dan △BCD pada gambar di bawah ini :

Aturan Sinus

Sehingga untuk setiap segitiga sembarang berlaku Aturan Sinus sebagai berikut :₂

Aturan Sinus 2

2. Aturan Cosinus

Perhatikan gambar berikut!

Aturan Cosinus

b² = CD² + AD² ..... (1)

Pada △BCD

Sin B = CD  ⇔ CD = a. Sin B... (2)
   a

Cos B = BD  ⇔ BD = a. Cos B... (3)
   a

AD = AB - BD = c - a. Cos B.... (4)

Jika kita substitusi ke persamaan (1) maka didapatkan

b² = (a. Sin B)² + (c - a. Cos B)²
b² = a². Sin² B + c² - 2.a.c. Cos b + a² Cos² B
b² = a² (Sin² B + Cos² b) + c² - 2.a.c.Cos B
b² = a² + c² - 2.a.c.Cos B

Maka didapatkan Aturan Cosinus sebagai berikut:

Aturan Cosinus 2

Dari aturan cosinus tersebut kita menggunakan cara aljabar, maka akan didapat rumus untuk menentukan nilai dari cosinus salah satu sudut dalam segitiga.

   a² = b² + c² - 2.b.c.Cos A
2.b.c.Cos A =  b² + c² - a²
   Cos A =  b² + c² - a²
     2.b.c

⇔   Cos B =  a² + c² - b²

2.a.c

⇔ Cos C = a² + b² - c²

2.a.b

3. Luas Segitiga

Rumus Luas Segitiga

Perhatikan △ABC disamping !

Sin A = CD

⇔ CD = b. sin A

Seperti yang kita ketahui dalam pelajaran matematika di Sekolah Dasar, rumus luas segitiga adalah:

½ x alas x tinggi

Dalam △ABC disamping

⇨ ½ x AB x CD
⇨  ½ x c x b.Sin A

Maka luas △ABC bisa didapat dengan rumus :

Luas △ = ½ b.c.Sin A

Luas △ = ½ a.c.Sin B

Luas △ = ½ a.b..Sin C

MARI BERLATIH DENGAN SOAL

1. Pada △ABC diketahui bahwa <A = 30°, BC = 6cm dan AC = 10cm. Maka tentukanlah nilai dari Sin B!

Pembahasan:

BC = a dan AC = b

   a     =    b
Sin A Sin B

  6     =   10
Sin30° Sin B

⇔ Sin B = 10 x Sin30° ⇔ Sin B = 10 x ½   ⇔ Sin B = 5
   6 6 6

2. Pada △PQR diketahu besar <P = 60°, <R = 45° dan panjang QR adalah 8√3 cm. Tentukanlah panjang sisi PQ!

Pembahasan :

QR = p dan PQ = r

menurut aturan sinus    p   =     r    ⇔    8√3    =    r
   Sin P Sin R Sin 60°   Sin 45°

  ⇔ r =   8√3 x Sin 45°  ⇔ r =   8√3  ½√2     ⇔ r = 8√2 cm
   Sin  60° ½√3

3. Perhatikan  △ABC disamping !
   Berapakah panjang sisi AC?

Berapa panjang sisi AC ?

Pembahasan :

AB = c dan AC = b
besar <C = 180° - (75°+ 60°) = 45°

  b     =    c
Sin B Sin C

  b     =   20
Sin 60°   Sin 45°

b = 20 x Sin 60°  =   20 x  ½√3
   Sin 45° ½√2

b = 20√3  x √2   = 10√6cm
   √2 √2

4. Jika diketahui suatu △ABC memiliki panjang sisi c = 12√2cm, besar <A = 105° dan <C = 45° maka berapakah panjang sisi b?

Pembahasan :

Besar <B = 180° - (105° + 45°) = 30°

b = c

Sin B Sin C

b = 12√2

Sin 60° Sin 45°

b = 12√2 x Sin 60° = 12√2 x ½√3 = 12√3 cm
Sin 45° ½√2

5. Ditentukan △PQR dengan panjang sisi QR = 4cm, PR = 10cm dan Sin Q = ½. Berapakah nilai Cos P?

Pembahasan :

QR = p dan PR = q

p = q ⇔ 4 = 10

Sin P Sin Q Sin P ½

⇔ Sin P = 4 x ½   = 1
   10 5

⇔ Cos² P = 1 - Sin² P   ⇔ Cos² P = 1 - (⅕)²

⇔ Cos² P = 24/25 ⇔ Cos P = ⅖√6 cm

6. Sebuah △ABC memiliki panjang AB = 4 cm, BC = 6 cm dan AC = 8 cm. Nilai cos <ACB adalah...

Pembahasan :

Cos <ACB = BC² + AC² - AB²
   2 x BC x AC

Cos <ACB = 6² + 8² - 4²   = 36 + 64 - 16   = 84   = 7
   2 x 6 x 8 96 96 8

7. Tentukan nilai X pada gambar segitiga dibawah!

Nilai x?

Pembahasan :

X² = 3² + 8² - 2.3.8.Cos 60°

X² = 9 + 64 - 2.24.½

X² = 73 -24 = 49

X = √49 = 7cm

8. Ditentukan △KLM dengan KL = 9cm, KM = 8cm dan LM = 7cm. Nilai Sin K adalah...

Pembahasan :

Cos K = KL² + KM² - LM²

2 x KL x KM

Cos K = 9² + 8² - 7² = 81 + 64 - 49 = 96 = 2

2 x 9 x 8 144 144 3

⇔ Sin² K = 1 - Cos² K

⇔ Sin² K = 1 - (2/3)²

⇔ Sin² K = 1 - 4-/9 = 5/9

⇔ Sin K = √5/9 = ⅓√5

9. Sebuah segitiga sama kaki ABC dengan panjang AB = AC = 8cm dan besar <ABC = 30°. Berapakah panjang sisi BC?

Pembahasan :

panjang sisi BC?

BC² = AB² + AC² - 2xABxACx Cos A

BC² = 8² + 8² - 2 x 8 x 8 x (-½)

BC² = 64 + 64 + 64 = 192

BC = √192 = 8√3 cm

10. Pada △ABC diketahui a = 2√7cm, b = 4cm dan c = 6cm. Maka nilai Sin A adalah...

Pembahasan :

Cos A = b² + c² - a²

2xbxc

Cos A = 4² + 6² - (2√7)² = 16 + 36 - 28 = 24 = 1

2x4x6 48 48 2

maka didapat besar <A = 60°

Sin 60° = ½√3

11. Pada △ABC diketahui <ABC = 60°, panjang sisi AB = 12cm dan panjang sisi BC = 15cm. Luas segitiga itu adalah...

Pembahasan :

Luas △ABC = ½ x AB x BC x Sin <ABC

= ½ x 12 x 15 x ½√3

= 45√3 cm²

12. Berapakah luas sebuah segitiga sama sisi yang memiliki panjang sisi 12cm?

Pembahasan :

Segitiga sama sisi memiliki besar sudut yang sama yaitu 60° dan semua sisi memiliki panjang yang sama sehingga luasnya didapat seperti ini

Luas △ = ½ x s x s x Sin α

= ½ x 12 x 12 x ½√3

= 36√3 cm²

13. Berapakah luas segiempat ABCD pada gambar dibawah?

Luas segi empat ABCD ?

Pembahasan :

Luas △ABD = ½ x 3 x 8 x Sin 60° = 12 x ½√3 = 6√3 cm²

Untuk menghitung luas △CBD, terlebih dahulu hitung panjang sisi BD menggunakan aturan cosinus

BD² = 3² + 8² - 2 x3 x 8 x Cos 60°

BD² = 9 + 64 - 24 = 49

BD = √49 = 7 cm

Perhatikan bahwa △CBD memiliki panjang sisi 7cm, 24 cm dan 25cm yang merupakan tripel pitagoras. Maka dapat disimpulkan bahwa △CBD adalah segitiga siku-siku sehingga luasnya adalah

Luas △CBD = ½ x 7 x 24 = 84 cm²

Maka luas segiempat ABCD = Luas △ABD + Luas △CBD

= 6√3 cm² + 84 cm²

= (6√3 + 84) cm²

14. Jika △ABC memiliki besar <A = 65°, <B = 55°, panjang sisi AC = 6cm dan panjang sisi BC = 8cm, maka luas segitiga tersebut adalah

Pembahasan :

Luas segitiga?

Besar <C = 180° - (65° + 55°) = 60°

Luas △ABC = ½ x AC x BC x Sin 60°

= ½ x 6 x 8 x ½√3

= 12√3 cm²

15. Tentukan luas segilima beraturan yang panjang jari-jarinya adalah 8 cm.

Pembahasan :

Perhatikan gambar dibawah ini !

Luas segi g?

Segilima beraturan terdiri dari 5 buah segitiga yang kongruen, maka luas segilima tersebut adalah 5 kali luas segitiga AOB dimana besar <AOB = 360° = 72°

Luas segi-5 = 5 x Luas △AOB

= 5 x ½ x 8 x 8 x Sin 72°

= 160 x 0,951

= 152,16 cm²

Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan dari variabel yang mempunyai pangkat tertinggi dua. Bentuk umumnya adalah:

$ax^2 + bx + c = 0$

Dengan a, b, merupakan koefisien, dan c adalah konstanta, serta $a \neq 0$ .

Penyelesaian atau pemecahan dari sebuah persamaan ini disebut sebagai akar-akar persamaan kuadrat. Akar-akar merupakan nilai dari variabel x yang memenuhi persamaan tersebut. Ketika nilai tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan akan menghasilkan nilai nol.

Akar-akar Persamaan Kuadrat

Ada tiga metode dalam mencari akar-akar persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ yaitu:

Pemfaktoran

Metode ini mudah digunakan jika akar-akarnya merupakan bilangan rasional. Berikut ini tabel model persamaan kuadrat (PK) dan berbagai cara pemfaktorannya:
persamaan kuadrat dengan pemfaktoran

Saat menggunakan metode ini, pertama harus mengetahui terlebih dahulu model PK yang akan diselesaikan. Jika model PK sudah diketahui, maka pemfaktoran bisa dilakukan dalam bentuk sesuai dengan yang ada di kolom tabel di atas. Untuk mendapatkan nilai p, q, m dan n kalian harus memahami cara memfaktorkan suatu bilangan.

Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Metode melengkapkan kuadrat sempurna akan mudah digunakan jika koefisien a dibuat agar bernilai 1. PK dalam bentuk $ax^2 + bx + c = 0$ diubah bentuk menjadi persamaan:

$(x + p)^2 = q$

Dengan p dan q adalah konstanta serta x adalah variabel. Nilai dari konstanta p dan q dari persamaan $x^2 + bx + c = 0$ didapatkan dengan cara:

$p = \frac{1}{2}b$

$q = (\frac{1}{2}b)^2 - c$

Perubahan tersebut dapat dibuktikan sebagai berikut :

$(x + p)^2 = q$

$(x + \frac{1}{2}b)^2 = (\frac{1}{2}b)^2 - c$

$x^2 + bx + (\frac{1}{2}b)^2 = (\frac{1}{2}b)^2 - c$

$x^2 + bx + c = 0$

Rumus abc

Metode rumus abc ini bisa digunakan jika pemfaktoran dan melengkapkan kuadrat sempurna tidak bisa dilakukan. Nilai dari akar-akar persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ didapatkan dari rumus abc berikut:

$x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Sehingga, akar-akarnya adalah

$x_1 = \frac{- b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat
Jenis akar-akar persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ dapat ditentukan dengan mengetahui nilai “Diskriminan” (D). Nilai diskriminan terdapat dalam rumus abc sebagai :

$D = b^2 - 4ac$

Sehingga rumus abc menjadi:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm sqrt{D}}{2a}$

Tanda akar diskriminan $( \sqrt{D} )$ dalam rumus abc menentukan jenis dari akar-akar persaaman kuadrat, apakah bilangan real atau tidak real. Sehingga jenis akar-akar PK $ax^2 + bx + c = 0$ adalah:

Jika D < 0 maka akar-akarnya tidak real.
Jika D > 0 maka akar-akarnya real ( $x_1, x_2 \in R$ ) dan berbeda ( $x_1 \neq x_2$ ).
Jika D = 0 maka akar-akarnya real ( $x_1, x_2 \in R$ ) dan sama atau kembar ( $x_1 = x_2$ ).

Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar

Penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan $ax^2 + bx + c$ dapat dilakukan tanpa harus mengetahui nilai dari akar-akarnya. Jumlah akar-akar dapat diperoleh dengan :

$x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$= \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac} - b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$= - \frac{2b}{2a} = - \frac{b}{a}$

Sedangkan hasil kali akar-akar dapat diperoleh dengan:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \cdot \frac{-b -\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$= \frac{(-b)^2 - (b^2 - 4ac)}{(2a)^2}$

$\frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$

Dari penjabaran tersebut dapat diketahui bahwa :

Penjumlahan akar-akar $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ .
Perkailan akar-akar $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ .

Ada beberapa bentuk pernyataan matematika yang bisa dirubah kedalam ( $x_1 + x_2$ ) dan ( $x_1 \cdot x_2$ ). Tujuan dari perubahan bentuk ini untuk memudahkan dalam peyelesaian persoalan. Perubahan ini dapat dilakukan dengan menggunakan sifat-sifat aljabar. Berikut ini sebagai contoh bentuk-bentuk perubahan:

$x_1 + x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 \cdot x_2$
$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3 (x_1 \cdot x_2)(x_1 + x_2)$
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{(x_1 + x_2)}{(x_1 \cdot x_2)}$

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Suatu persamaan kuadrat baru dapat dibentuk jika diketahui nilai dari akar-akarnya. Hal tersebut dapat dilakukan dengan memasukan atau mensubstitusi nilai dari akar-akar yang telah diketahui kedalam persamaan

$(x - x_1)(x - x_2)$

atau

$x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 . x_2)$

Suatu persamaan kuadrat baru juga dapat dibentuk walaupun tidak ada diketahui nilai dari akar-akarnya. Dengan syarat, akar-akar tersebut memiliki hubungan atau relasi dengan akar-akar dari PK yang lain.

Contoh Soal Persamaan Kuadrat dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Persamaan kuadrat dari $x^2 - 4x - 6 = 0$ mempunyai akar-akar m dan n dengan ketentuan m < n. Tentukan nilai dari n – m.
Pembahasan:
Soal ini dapat diselesaikan dengan cara melengkapkan kuadrat $x^2 - 4x - 6 = 0$ yang dirubah menjadi $(x + p)^2$ . Dimana:

$p = \frac{1}{2}b = \frac{1}{2}(-4) = -2$

$q = (\frac{1}{2}b)^2 - c = (\frac{1}{2}b)^2 - c$

Kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan

$(x + p )^2 = q$

$(x - 2)^2 = 10$

$(x - 2) = \pm \sqrt{10}$

$x = 2 \pm \sqrt{10}$

Didapatkan akar-akarnya dengan syarat m < n adalah

$m = 2 - \sqrt{10}$

$n = 2 + \sqrt{10}$

Maka,

$n - m = 2 + \sqrt{10} - (2 - \sqrt{10})$

$= 2 + \sqrt{10}- 2 + \sqrt{10}$

$= 2\sqrt{10}$

Contoh Soal 2

Suatu persamaan kuadrat $x^2 - 2x - 5 = 0$ memiliki akar-akar p dan q. Tentukan nilai dari $(p^2 - q^2)^2$ .
Pembahasan :
Berdasarkan persamaan $x^2 - 2x - 4 = 0$ diketahui bahwa:

$p + q = -\frac{b}{a} = -\frac{(-2)}{2} = 1$

$p . q = \frac{c}{a} = \frac{-4}{2} = -2$

Sehingga diperoleh

$(p^2 - q^2)^2 = ((p + q)(p - q))^2$

$= (p + q)^2 . (p - q)^2$

$= (p + q)^2 . (p^2 + q^2 - 2pq)$

$=(p + q)^2 . ((p + q)^2 - 2pq + 2pq)$

$= (1)^2 . ((1)^2 - 2(-2) - 2(-2))$

$= (1 + 4 + 4) = 9$

Contoh Soal 3

Suatu persamaan kuadrat $2x^2 - 6x + 3 = 0$ memiliki akar-akar p dan q. Tentukan persamaan kuadrat baru dengan akar-akar (p + q) dan (2pq).
Pembahasan :
Berdasarkan persamaan $2x^2 - 6x + 3 = 0$ diketahui bahwa :

$p + q = -\frac{b}{a} = -\frac{(-6)}{2} = 3$