Relasi dan Fungsi

Mei 16, 2019 No Comment

Fungsi, Fungsi Komposisi, dan Fungsi Invers

Relasi dan Fungsi

Pengertian Fungsi: Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi atau pemetaan jika dan hanya jika setiap anggota himpunan A berpasangan dengan tepat satu anggota himpunan B.
Suatu fungsi atau pemetaan dapat disajikan dalam bentuk himpunan pasangan terurut, rumus, diagram panah, atau diagram cartesius. Fungsi f yang memetakan himpunan A ke himpunan B ditulis dengan notasi:
Punya PR yang gak ngerti? Yuk tanya di Forum StudioBelajar.com
f:A \rightarrow B
Dengan:
  • A disebut domain (daerah asal) dinotasikan D_f
  • B disebut Kodomain (daerah kawan) dinotasikan K_f
  • {y \epsilon B \mid(x,y) \epsilon R, x \epsilon A} disebut range (daerah hasil), dinotasikan dengan R_f
Sebagai contoh:
Contoh 1 Contoh 2 Contoh 3
 relasi dan fungsi  bukan fungsi  pengertian fungsi
Bukan fungsi karena terdapat anggota di A yang tidak dihubungkan dengan anggota di B Bukan fungsi karena terdapat anggota di A yang dihubungkan lebih dari satu dengan anggota di B Meupakan fungsi karena setiap anggota di A tapat dihubungkan dengan satu anggota di B
Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:
Turunan Fungsi Aljabar & Trigonometri
Persamaan Garis Lurus

Sifat-sifat Fungsi

  • Fungsi surjektif
Pada fungsi f:A \rightarrow B, jika setiap elemen di B mempunyai pasangan di A atau R_f = B, atau setiap y \epsilon B terdapat x \epsilon A sedemikian sehingga f(x) = y. Contoh:
surjektif
  • Fungsi Into
Pada fungsi f:A \rightarrow B, jika terdapat elemen di B yang tidak mempunyai pasangan di A.
Contoh:
into
  • Fungsi Injektif
Pada fungsi f:A \rightarrow B, jika setiap elemen di B mempunyai pasangan tepat satu elemen dari A.
Contoh:
injektif
  • Fungsi Bijektif
Jika fungsi f:A \rightarrow B merupakan fungsi surjektif sekaligus fungsi injektif.
Contoh:
bijektif

Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi merupakan susunan dari beberapa fungsi yang terhubung dan bekerja sama.
Sebagai ilustrasi jika fungsi f dan g adalah mesin yang bekerja beriringan. Fungsi f menerima input berupa (x) yang akan diolah di mesin f dan menghasilkan output berupa f(x). Kemudian f(x) dijadikan input untuk diproses di mesin g sehingga didapat output berupa g(f(x)).
Ilustrasi tersebut jika dibuat dalam fungsi merupakan komposisi g dan f yang dinyatakan dengan g o f sehingga:
(g o f)(x) = g(f(x))
dengan syarat: R_f \cap D_g \not= {\O}.
fungsi komposisi
Komposisi bisa lebih dari dua fungsi jika f:A \rightarrow B, g:B \rightarrow C, dan h:C \rightarrow D, maka h o g o f:A \rightarrow D dan dinyatakan dengan:
(h o g o f)(x) = h(g(f(x)))

Sifat-sifat fungsi komposisi:

Operasi pada fungsi komposisi tidak besifat komutatif (g o f)(x) \not= (f o g)(x)
Operasi bersifat asosiatif: (h o g o f)(x) = (h o(g o f))(x) = ((h o g) o f)(x)
Contoh:
Jika f(x) = 2x + 3 dan (f o g)(x) = 2x^2 + 6x - 7, maka g(x) adalah
(f)(g(x)) = 2x^2 + 6x - 7
2(g(x)) + 3 = 2x^2 + 6x - 7
g(x) = x^2 + 3x - 5

Fungsi Invers

Jika fungsi f:A \rightarrow B memiliki relasi dengan fungsi g:B \rightarrow A, maka fungsi g merupakan invers dari f dan ditulis f^{-1} atau g = f^{-1}. Jika f^{-1} dalam bentuk fungsi, maka f^{-1} disebut fungsi invers.
fungsi invers

Menentukan Invers

Menentukan invers suatu fungsi y = f(x) dapat ditempuh dengan cara berikut:
Ubah persamaan y = f(x) ke dalam bentuk x = f(y)
Gantikan x dengan f^{-1}(y) sehingga f(y) = f^{-1}(y)
Gantikan y dengan x sehingga diperoleh invers berupa f^{-1}
Mau latihan soal? Yuk jawab pertanyaan di Forum StudioBelajar.com
Contoh:
Menentukan invers dari =x^2 - 2x + 4:
y = [x^2 - 2x + 4
y = (x - 1)^2 + 3
(x - 1)^2 = y - 3
x - 1 = \pm \sqrt{y - 3}
x = \pm \sqrt{y -3 + 3}
Sehingga inversnya adalah
f^{-1}(x) =\pm \sqrt{y - 3 + 1} dan bukan merupakan fungsi karena memiliki dua nilai.

Rumus Fungsi Invers

Rumus Fungsi Invers
JENIS FUNGSI  f(x)  f^{-1}(x)
Fungsi linier  f(x) = ax + b  f^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}
Fungsi pecahan linier  f(x) =\frac{ax+b}{cx+d}  f^{-1}(x) = \frac{-dx+b}{cx-a}
Fungsi Irrasional  f(x) =\sqrt[n]{ax+b}  f^{-1}(x) = \frac{x^n-b }{a}
Fungsi eksponen  f(x) = a^x  f^{-1}(x) = ^a\log x
Fungsi logaritma  f(x) = ^a\log x  f^{-1}(x) = a^x
Contoh
JENIS FUNGSI  f(x)  f^{-1}(x)
Fungsi linier  f(x) = 2x+3  f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}
Fungsi pecahan linier  f(x) = \frac{2x+3}{4x+5}  f^{-1}(x) = \frac{-5x+3}{4x-2}
Fungsi Irrasional  f(x) = \sqrt[4]{2x+3}  f^{-1}(x) = \frac{x^4-3}{2}
Fungsi eksponen  f(x) = 2^x  f^{-1}(x) = ^2\log x
Fungsi logaritma  f(x) = ^2\log x  f^{-1} = 2^x

Invers dari Fungsi Komposisi

invers dari fungsi komposisi
Berdasar gambar, jika f, g, h adalah fungsi dengan contoh f(x) = 2x + 3, g(x) = 3x - 5, dan  h(x) = x =1.
Jika f^{-1},g^{-1},h^{-1} adalah invers fungsinya yaitu f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}, g^{-1}(x) = \frac{x+3}{3}, dan h^{-1}(x) = x - 1, maka dirumuskan beserta contohnya:
  • (g \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ g^{-1})(x)
(g \circ f)^{-1}(x) =f^{-1}(g^{-1}(x))
(g \circ f)^{-1}(x) = \frac{(g^{-1}(x))-3}{2} = \frac{\frac{x+5}{3}-3}{2} = \frac{\frac{x-4}{3}}{2} = \frac{2x-8}{3}
  • (f \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x)
(f \circ g)^{-1}(x) = g^{-1}(f^{-1}(x))
(f \circ g)^{-1}(x) = \frac{\frac{x-3}{2}+5}{3} = \frac{\frac{x+7}{2}}{3} = \frac{3x+21}{2}
  • (h \circ g \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ g^{-1} \circ h^{-1})(x)
(h \circ g \circ f)^{-1}(x) = f^{-1}(g^{-1}(h^{-1}(x)))
(h \circ g \circ f)^{-1}(x) = f^{-1} (\frac{(x-1)+5}{3}) = f^{-1} (\frac{x+4}{3})
(h \circ g \circ f)^{-1}(x) = \frac{(\frac{x+4}{3})-3}{2} = \frac{(\frac{x-5}{3})}{2} = \frac{2x-10}{3}
  • (f \circ g \circ h)^{-1}(x) = (h^{-1} \circ g^{-1} \circ f^{-1})(x)
(f \circ g \circ h)^{-1}(x) = h^{-1} (g^{-1}(f^{-1}(x)))
(f \circ g \circ h)^{-1}(x) = h^{-1}(\frac{3x+21}{2})
(f \circ g \circ h)^{-1}(x) = (\frac{3x+21}{2}) - 1 = \frac{3x+19}{2}
Berdasarkan rumusan tersebut, dapat diturunkan operasi komposisi fungsi sebagai berikut:
  • Jika diketahui g(x) dan (f \circ g)(x) atau (g \circ f)(x), maka (f \circ g \circ g^{-1})(x) = (g^{-1} \circ g \circ f)(x) = f(x)
  • Jika diketahui f(x) dan (f \circ g)(x) atau (g \circ f)(x), maka (f^{-1} \circ f \circ g)(x) = (g \circ f \circ f^{-1})(x) = g(x)
  • Jika diketahui f(x),g(x), dan (f \circ g \circ h)(x), maka (f \circ g)^{-1}((f \circ g \circ h)(x))
  • Jika diketahui f(x), h(x), dan (f \circ g \circ h)(x), maka f^{-1}((f \circ g \circ h)(h^{-1}(x)))

Contoh Soal Fungsi Komposisi Fungsi Invers dan Pembahasan

Contoh Soal Fungsi Komposisi

Jika f(x) = \frac{x}{x-1}, x \not= 1 dan g(x) = f(x^2 +1), tentukanlah nilai g(f(x))
Pembahasan
g(x) = f(x^2+1)
g(x) = \frac{(x^2+1)}{(x^2+1)-1} = \frac{x^2+1}{x^2}
g(x) = 1+ \frac{1}{x^2}
Maka:
g(f(x)) = 1 + \frac{1}{(f(x))^2}
g(f(x)) = 1 + \frac{1}{(\frac{x}{x-1})^2} = 1 + (\frac{x-1}{x})^2 = 1 + \frac{x^2-2x+1}{x^2}
g(f(x)) = 2 - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}

Contoh Soal Fungsi Invers

Diketahui f^{-1}(x) = \frac{1}{2}(x - 3), tentukan f(x).
Pembahasan
f^{-1}(x) = \frac{1}{2}(x -3)
f^{-1}(y) = \frac{1}{2}(y -3)
x = \frac{1}{2}(y - 3)
2x = (y - 3)
y = 2x + 3
Maka,
f(x) = 2x + 3

Contoh Soal Fungsi Komposisi Fungsi Invers

Misalkan f(x) = x + 2 untuk x > 0 dan  g(x) = \frac{15}{x} untuk  x > 0. Jika (f^{-1} \circ g^{-1})(x) = 1, tentukan nilai (x)(x).
Pembahasan
f(x) = x + 2 \rightarrow f^{-1}(x) = x - 2
g(x) = \frac{15}{x} \rightarrow g^{-1}(x) = \frac{15}{x}
Maka,
(f^{-1} \circ g^{-1})(x) = 1
f^{-1}(g^{-1}(x)) = 1
f^{-1}(\frac{15}{x}) = 1
(\frac{15}{x}) - 2 = 1
x = 5
Tags
Safinka Mutiara

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Morbi eu sem ultrices, porttitor mi eu, euismod ante. Maecenas vitae velit dignissim velit rutrum gravida sit amet eget risus. Donec sit amet mollis nisi, nec commodo est.

0 komentar:

Posting Komentar

Designed with by Way2themes | Distributed by Blogspot Themes